Теорема гильберта о базисе. Теорема гильберта о базисе Теорема д гильберта о существовании собственных значений

R [x ] также нётерово.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

19. Оператор Гильберта

20. Теоремы о спектрах (продолжение)

10. Ортогонализация с помощью процедуры Грама Шмидта

Субтитры

Доказательство

Пусть F - идеал в R [x ] (мы здесь будем считать R коммутативным, для некоммутативных колец всё доказательство сохраняется, необходимо только считать все идеалы левыми), а p - множество старших коэффициентов многочленов, принадлежащих этому идеалу. Докажем, что p - идеал.

В самом деле, если a и b - элементы p , то a и b являются старшими коэффициентами некоторых многочленов из F - f (x ) = ax n + … и g (x ) = bx m + … Если, например, m ⩾ n , то a + b многочлена x m -n f (x ) + g (x ) , принадлежащего F . Если a является старшим коэффициентом f (x ) то ar является старшим коэффициентом rf (x ) из идеала F для любого элемента кольца r . Таким образом p - идеал, а так как R - нётерово кольцо, то p конечно порождается некоторыми элементами a 1 , a 2 … a n , являющимися соответственно старшими коэффициентами многочленов f 1 , f 2 … f n из F . Пусть наибольшая степень этих многочленов равна r . Можно считать что степень каждого из этих многочленов равна r (если она равна m ⩽ r , то можно сделать её такой, домножая на x r -m ).

Аналогично доказывается что p k - множество старших коэффициентов многочленов из F , степень которых равна k , объединённое с нулём кольца - является идеалом, и, в силу нётеровости, конечно порождается элементами a k 1 , a k 2 … . Пусть они являются старшими коэффициентами многочленов f k 1 , f k 2 … степени k из идеала F .

Докажем, что многочлены f 1 , …, f i , …, f 1 1 , …, f 1 i , …, f r -1 1 , …, f r-1 i … порождают идеал F . Пусть f (x ) = ax s + … - какой-нибудь многочлен идеала F , тогда a принадлежит p . Если его степень s ⩾ r , то так как a по доказанному является линейной комбинацией a = r 1 a 1 + r 2 a 2 + …r n a n старших членов многочленов f 1 , f 2 … f n степени r , то мы получим, что f (x ) − r 1 x s −r f 1 − r 2 x s-r f 2 − … − r n x s−r f n будет многочленом степени, меньшей, чем s и также принадлежащим идеалу F . Повторяя при необходимости эту операцию несколько раз можно прийти к многочлену степени ⩽ r .

Для многочлена степени ⩽ r применяется та же процедура, но с использованием многочленов f k 1 , f k 2 … старшие коэффициенты которых порождают идеал p k . Далее процедура повторяется, пока мы не придем к нулевому многочлену.

Следствия

Последовательно применяя теорему, можно доказать, что кольцо многочленов от n переменных R [x 1 , …, x n ] нётерово.

Кольцо R [u 1 , …, u n ] , конечно порожденное над нётеровым кольцом R , также нётерово (как факторкольцо кольца многочленов R [x 1 , …, x m ] ).

Пусть G {\displaystyle G} а - её образующая. Тогда норма любого элемента β ∈ E {\displaystyle \beta \in E} равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент α ∈ E {\displaystyle \alpha \in E} , что

Доказательство

Достаточность очевидна: если β = α σ (α) , {\displaystyle \beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha))),} то, учитывая мультипликативность нормы, имеем N (β) = N (α) σ (α) . {\displaystyle N(\beta)={\frac {N(\alpha)}{\sigma (\alpha))).} Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех σ i (α) , {\displaystyle \sigma _{i}(\alpha),} а применение σ {\displaystyle \sigma } к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то в силу равенства числителя и знаменателя N (β) = 1. {\displaystyle N(\beta)=1.}

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

i d + β σ + β σ (β) σ 2 + … + (β σ (β) … σ n − 2 (β) σ n − 1) . {\displaystyle \mathrm {id} +\beta \sigma +\beta \sigma (\beta)\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta)\ldots \sigma ^{n-2}(\beta)\sigma ^{n-1}).}

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент γ ∈ E , {\displaystyle \gamma \in E,} для которого

0 ≠ α = γ + β σ (γ) + β σ (β) σ 2 (γ) + … + (β σ (β) … σ n − 2 (β) σ n − 1 (γ) . {\displaystyle 0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma)+\beta \sigma (\beta)\sigma ^{2}(\gamma)+\ldots +(\beta \sigma (\beta)\ldots \sigma ^{n-2}(\beta)\sigma ^{n-1}(\gamma).}

Если применить отображение σ {\displaystyle \sigma } к α , {\displaystyle \alpha ,} а потом помножить полученное выражение на β , {\displaystyle \beta ,} то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как β σ (β) … σ n − 2 (β) σ n − 1 (β) = N (β) = 1. {\displaystyle \beta \sigma (\beta)\ldots \sigma ^{n-2}(\beta)\sigma ^{n-1}(\beta)=N(\beta)=1.}

Тогда получаем, что β σ (α) = α , {\displaystyle \beta \sigma (\alpha)=\alpha ,} деля на σ (α) ≠ 0 {\displaystyle \sigma (\alpha)\neq 0} имеем β = α σ (α) . {\displaystyle \beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha))).} Необходимость доказана.

Аддитивная форма

Пусть G {\displaystyle G} - группа Галуа конечного циклического расширения E / K , {\displaystyle E/K,} а σ {\displaystyle \sigma } - её образующая. Тогда

С понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем . Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) и названа в его честь.

Формулировка

Пусть $k$ - произвольное поле (например, поле рациональных чисел), $K$ - алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим $K$ - кольцо многочленов от $n$ переменных с коэффициентами в поле $K$, пусть $I$ - идеал в этом кольце. Алгебраическое множество $\backslash hbox\{V\}(I)$, определяемое этим идеалом, состоит из всех точек $x=(x\_1,\backslash dots,x\_n)\backslash in\; K^n$ таких, что $f(x)=0$ для любого $f\backslash in\; I$. Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен $p\backslash in\; k$ зануляется на множестве $\backslash hbox\{V\}(I)$, то есть если $p(x)=0$ для всех $x\backslash in\; V(I)$, то существует натуральное число $r$ такое, что $p^r\backslash in\; I$.

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если $I$ является собственным идеалом в кольце $K$, то $\backslash hbox\{V\}(I)$ не может быть пустым множеством , то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен $p(x)=1$ имеет корни всюду на $\backslash hbox\{V\}(I)$, следовательно, его степень принадлежит $I$). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича . Предположение о том, что поле $K$ является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала $(x^2+1)$ в $\backslash mathbb\; R[x]$ не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры , теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала $J$ справедлива формула

$\backslash hbox\{I\}(\backslash hbox\{V\}(J))=\backslash sqrt\{J\}$

где $\backslash sqrt\{J\}$ - радикал идеала $J$, а $\backslash hbox\{I\}(U)$ - идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве $U$.

Из этого следует, что операции $\backslash hbox\{I\}$ и $\backslash hbox\{V\}$ задают биективное , обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в $K^n$ и радикальными идеалами в $K$.

Проективная версия Nullstellensatz

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве , называемое проективной Nullstellensatz . Пусть $R=K$, $R\_d$ - множество однородных многочленов степени $d$. Тогда

$R\_+\; =\; \backslash bigoplus\_\{d\; \backslash ge\; 1\}\; R\_d$

называется максимальным однородным идеалом . Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества $S\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{P\}^n$ и однородного идеала $I$ пусть

$\backslash begin\{align\}$

\operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(S) &= \{ f \in R_+ | f(x) = 0 \;\forall x\in S \}, \\ \operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I) &= \{ x \in \mathbb{P}^n | f(x) = 0 \;\forall f \in I \}. \end{align}

Напомним, что $f$ не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами $x$, в которых $f(x)=0$, определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала $I\backslash in\; R\_+$ верно

$\backslash sqrt\{I\}\; =\; \backslash operatorname\{I\}\_\{\backslash mathbb\{P\}^n\}(\backslash operatorname\{V\}\_\{\backslash mathbb\{P\}^n\}(I)).$

Напишите отзыв о статье "Теорема Гильберта о нулях"

Литература

• Атья М. , Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. - М: Мир, 1972
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
• Прасолов В. В. Многочлены. - М.: МЦНМО , 1999. ISBN 5-900916-32-4 .
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970

См. также

Пространства Аксиоматика Теоремы Операторы Общая теория относительности Другое

Отрывок, характеризующий Теорема Гильберта о нулях

И Пьер, со страхом вспоминая, не сделал ли он чего нибудь предосудительного, краснея, оглянулся вокруг себя. Ему казалось, что все знают, так же как и он, про то, что с ним случилось.
Через несколько времени, когда он подошел к большому кружку, Анна Павловна сказала ему:
– On dit que vous embellissez votre maison de Petersbourg. [Говорят, вы отделываете свой петербургский дом.]
(Это была правда: архитектор сказал, что это нужно ему, и Пьер, сам не зная, зачем, отделывал свой огромный дом в Петербурге.)
– C"est bien, mais ne demenagez pas de chez le prince Ваsile. Il est bon d"avoir un ami comme le prince, – сказала она, улыбаясь князю Василию. – J"en sais quelque chose. N"est ce pas? [Это хорошо, но не переезжайте от князя Василия. Хорошо иметь такого друга. Я кое что об этом знаю. Не правда ли?] А вы еще так молоды. Вам нужны советы. Вы не сердитесь на меня, что я пользуюсь правами старух. – Она замолчала, как молчат всегда женщины, чего то ожидая после того, как скажут про свои года. – Если вы женитесь, то другое дело. – И она соединила их в один взгляд. Пьер не смотрел на Элен, и она на него. Но она была всё так же страшно близка ему. Он промычал что то и покраснел.
Вернувшись домой, Пьер долго не мог заснуть, думая о том, что с ним случилось. Что же случилось с ним? Ничего. Он только понял, что женщина, которую он знал ребенком, про которую он рассеянно говорил: «да, хороша», когда ему говорили, что Элен красавица, он понял, что эта женщина может принадлежать ему.
«Но она глупа, я сам говорил, что она глупа, – думал он. – Что то гадкое есть в том чувстве, которое она возбудила во мне, что то запрещенное. Мне говорили, что ее брат Анатоль был влюблен в нее, и она влюблена в него, что была целая история, и что от этого услали Анатоля. Брат ее – Ипполит… Отец ее – князь Василий… Это нехорошо», думал он; и в то же время как он рассуждал так (еще рассуждения эти оставались неоконченными), он заставал себя улыбающимся и сознавал, что другой ряд рассуждений всплывал из за первых, что он в одно и то же время думал о ее ничтожестве и мечтал о том, как она будет его женой, как она может полюбить его, как она может быть совсем другою, и как всё то, что он об ней думал и слышал, может быть неправдою. И он опять видел ее не какою то дочерью князя Василья, а видел всё ее тело, только прикрытое серым платьем. «Но нет, отчего же прежде не приходила мне в голову эта мысль?» И опять он говорил себе, что это невозможно; что что то гадкое, противоестественное, как ему казалось, нечестное было бы в этом браке. Он вспоминал ее прежние слова, взгляды, и слова и взгляды тех, кто их видал вместе. Он вспомнил слова и взгляды Анны Павловны, когда она говорила ему о доме, вспомнил тысячи таких намеков со стороны князя Василья и других, и на него нашел ужас, не связал ли он уж себя чем нибудь в исполнении такого дела, которое, очевидно, нехорошо и которое он не должен делать. Но в то же время, как он сам себе выражал это решение, с другой стороны души всплывал ее образ со всею своею женственной красотою.

В ноябре месяце 1805 года князь Василий должен был ехать на ревизию в четыре губернии. Он устроил для себя это назначение с тем, чтобы побывать заодно в своих расстроенных имениях, и захватив с собой (в месте расположения его полка) сына Анатоля, с ним вместе заехать к князю Николаю Андреевичу Болконскому с тем, чтоб женить сына на дочери этого богатого старика. Но прежде отъезда и этих новых дел, князю Василью нужно было решить дела с Пьером, который, правда, последнее время проводил целые дни дома, т. е. у князя Василья, у которого он жил, был смешон, взволнован и глуп (как должен быть влюбленный) в присутствии Элен, но всё еще не делал предложения.
«Tout ca est bel et bon, mais il faut que ca finisse», [Всё это хорошо, но надо это кончить,] – сказал себе раз утром князь Василий со вздохом грусти, сознавая, что Пьер, стольким обязанный ему (ну, да Христос с ним!), не совсем хорошо поступает в этом деле. «Молодость… легкомыслие… ну, да Бог с ним, – подумал князь Василий, с удовольствием чувствуя свою доброту: – mais il faut, que ca finisse. После завтра Лёлины именины, я позову кое кого, и ежели он не поймет, что он должен сделать, то уже это будет мое дело. Да, мое дело. Я – отец!»